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蚂蚁运输搬家公司黄文政:一个假想例子中的生育率错觉


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网易研究局NO.626

作者|黄文政(中国与全球化智库特邀高级研究员、网易研究局专栏作家)、梁建章(携程创始人、北京大学光华打点 学院教授、网易研究局专栏作家)

一、一个假想例子中的生育率错觉

在谈论人口趋势时,经常听到有人说,中国生育率根本不低,我家孩子班上独生子女其实不 久不多,好多同学都有兄弟姐妹,有人还有好几个。那么在这?#26234;?#20917;下,生育率真的很高吗?通俗来说,生育率是指每个家庭平均生育的孩子数,下面我们通过一个假想的例子来?#25945;?#29983;育率估算中的错觉。

假设一个幼儿园小班有14个孩子,其中3个是独生子女,4个来自两孩家庭,3个来自三孩家庭,4个来?#36816;?#23401;家庭,那么他们的父母辈平均有几个孩子?换言之,他们父母的生育率是多少?

在这个小班的14个孩子中,独生子女只有3个,不到总数的1/4;来自三孩和四孩家庭的有7个,占?#20439;?#25968;一半。看到这?#26234;?#20917;,很多人的直觉是,这些孩子的父母生得太多了,这样下去人口会膨胀。这种直觉可靠吗?

要估算这个小班父母辈平均孩子数量,一个自然的想法是对孩子的兄弟姐妹数做算术平均。这里的分母?#21069;?#19978;的14个孩子,分子是所有孩子包孕自己 在内的兄弟姐妹数的总和,即1*3 + 2*4 + 3*3 + 4*4 = 36。由?#35828;?#20986;的生育率是36/14 = 2.57。

也便是 说,依照 这种估算方法,每个家庭平均生育2.57个孩子,给人的直不雅观 观感受是孩子比父母多,人口要膨胀。

但其实这只是一种错觉,这种算法严重高估了生育率。这是因为生育率反映每个家庭平均有几个孩子,所以基本的抽样单位是家庭,而不是孩子个人。如果把这个幼儿园小班看成来自全社会的抽样,那么被抽取的是14个孩子,而不是14个家庭。

抽取家庭和抽取孩子的区别在哪里呢?反不雅观 观之,如果在全社会完全随机地抽取家庭的话时,那么任何一个家庭不管有几个孩子,被抽到的概率?#38469;?#19968;样的。但是在随机而抽取孩子时,孩子多的家庭被抽到的概率却要更大。因此,依照 孩子兄弟姐妹数来估算生育率,需要考虑到每个家庭孩子数量多?#35759;?#23478;庭被抽取概率的影响。

由于一个N孩家庭对应于N个孩子,我们可以同等地说,一个来自于N孩家庭的孩子对应于1/N个家庭。?#21019;?#20851;系,每个独生子女对应于1个家庭,每个来自两孩家庭的孩子对应于1/2个家庭,每个来自三孩家庭的孩子对应于1/3个家庭,而每个来?#36816;?#23401;家庭的孩子对应于1/4个家庭。

因此,幼儿园小班14个孩子对应于3 *(1/1) + 4*(1/2) + 3 *(1/3) + 4 *(1/4) = 7个家庭。由此可以计算出,平均每个家庭有14/7 = 2个孩子,远少于之前计算的2.57个孩子。

根据数学语言,这里计算的?#21069;?#19978;所有孩子家里包孕自己 在内的兄弟姐妹数的调和平均,也称为倒数平均。之前计算的则是每个孩子家里包孕自己 在内的兄弟姐妹数的算术平均。

当人们在进?#20804;?#19981;雅观 观的判断时,很自?#25442;?#40664;认一个孩子代表一个家庭而使用算术平均,从而给予多孩家庭与孩子数量成比例的权重,但真正该使用的应该是调和平均。这是因为对N孩家庭来说,N个孩子才略代表一个家庭,与?#35828;?#20215;的是一个孩子才代表1/N个家庭。简言之,依照 孩子兄弟姐妹数来判断生育率时,人们的直不雅观 观感受接近于算术平均,但其实应该使用的是调和平均。

如果每个孩子家里的兄弟姐妹数一样多,调和平均与算术平均相?#21462;?#22909;比,如果班上所有孩子?#38469;?#29420;生子女,算术平均和调和平均?#38469;?,他们父母平均就只有一个孩子;又如,如果班上所有孩子都来自两孩家庭,算术平均和调和平均?#38469;?,他们父母平均便是 两个孩子。

但是,如果孩子的兄弟姐妹数不等,那么调和平均就必定 小于算术平均。不同 家庭之间孩子数差别 越大,算术平均就比调和平均大得越多,对生育率的高估错觉也就越严重。

二、假想例子中的人口趋势

前面的例子说明,针对各个孩子兄弟姐妹数这样的数据,我们应该使用调和平均,而不是更符合直不雅观 观的算术平均来估算上一辈生育率。如果孩子的兄弟姐妹数不等,调和平均就肯定小于算术平均。

但需要指出的是,即使使用调和平均依?#25442;?#39640;估生育率,这是因为那些不婚不孕不育而没有孩子的家庭并没有被计入分母。

下图显示了这个幼儿园小班孩子父母辈的一种可能情形。在图中,7对夫妻有孩子,其中1对生了四个孩子,1对生了三个孩子,2对各生了两个孩子,3对各生了一个孩子。也便是 说,7个家庭一共生育了14个孩子,生育率为2。这与我们上节使用调和平均计算的生育率是一样的。



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